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デルタ関数とその性質

デルタ関数とその性質
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初級Mathマニアの寝言

数学は色々なところで応用可能であり、多くの人が数学の抽象的な概念の意味や意義を鮮明に知ることができれば今まで以上に面白い物や仕組みが生まれるかもしれません。このブログは数学を専門にしない人のために抽象的な概念の意味や意義を分かりやすく説明することを目的としています。数学を使って何かしたい人のお役に立てたら幸いです。

●ガウス分布とディラックのデルタ関数

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●ディラックのデルタ関数の変なところ

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このように 関数には変な部分があります。しかし、応用上は便利なので 関数を捨て去るのは勿体ないと変な部分を解消しようと努力した人がたくさんいました。その中でシュワルツという数学者は通常の関数の概念を一般化した超関数というものを創造することに成功しました。

●関数概念の一般化

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このリースの表現定理を用いると、前の記事で議論した関数空間 は に含まれるということが次のように分かります。

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また, に含まれないディラックのデルタ関数も に含まれます。ただし、ここでのディラックのデルタ関数は上で与えたような数学的に意味のないものではありません。

クロネッカーのデルタとディラックのデルタ関数

自然科学

クロネッカーのデルタは、条件分岐を数式上で表現できる非常に便利な関数である。

クロネッカーのデルタは離散的な変数(自然数の集合など)に対して用いられるが、これを連続変数に対して拡張したものがディラックのデルタ関数である。

クロネッカーのデルタ

  1. $$\sum_\delta_a_j=a_i$$
  2. $$\sum_a_i\delta_=a_j$$
  3. $$\sum_\delta_\delta_=\delta_$$

ディラックのデルタ関数

定義その1

定義その2(簡単)

  1. $$\int_<-\infty>^<\infty>f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$$
  2. $$\delta(-x)=\delta(デルタ関数とその性質 x)$$
  3. $$\delta(x)=\frac<2\pi>\sum_^<\infty>e^$$
  4. $$\delta(ax)=\frac\delta(x)\,(a>0)$$

性質1.の解説

性質2.の解説

性質3.の解説

性質4.の解説

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艮製作所 主宰 統計検定1級 / 医師

大学院医学部にて、統計プログラミングを駆使して臨床・基礎の知見を技術応用するとともに、省庁や地方自治体、企業のプロジェクトにて技術指導を行っている。好きな言語は Rust と Python 。

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